MBA數(shù)學(xué)：從數(shù)列遞推到N球配對(duì)問(wèn)題
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本篇給出求簡(jiǎn)單遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的通用解法，并由此思路解一個(gè)老題
以下記A(N)為數(shù)列第N項(xiàng)
1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：由題意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]
即 A(N)+1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
因此 A(N)+1=2^N
數(shù)列通項(xiàng)公式為 A(N)=2^N-1
2、通用算法
已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：設(shè) A(N)+X=P*[A(N-1)+X]
解得 X=Q/(P-1)
因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列
由此可算出A(N)通項(xiàng)公式
3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解題思路：設(shè) A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]
代入原式可得出兩組解，對(duì)兩組X，Y分別求出
A(N)+X*A(N-1)的通項(xiàng)公式
再解二元一次方程得出A(N)
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。
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4、現(xiàn)在用上面的思路來(lái)解決一個(gè)著名的問(wèn)題：
N個(gè)球和N個(gè)盒子分別編號(hào)從1到N，N個(gè)球各放入一個(gè)盒子，求沒(méi)有球與盒子編號(hào)相同的放法總數(shù)。
解：設(shè)A(N)為球數(shù)為N時(shí)滿足條件的放法(以下稱無(wú)配對(duì)放法)總數(shù)，
易知A1=0，A2=1
當(dāng)N》2時(shí)，一號(hào)球共有N-1種放法，假設(shè)1號(hào)球放入X號(hào)盒子
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號(hào)球正好放入1號(hào)盒子，
問(wèn)題等價(jià)于有N-2個(gè)球的無(wú)配對(duì)放法，放法總數(shù)為：A(N-2)
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號(hào)球沒(méi)有放入1號(hào)盒子，
則可以把X號(hào)球看作1號(hào)球，問(wèn)題等價(jià)于有N-1個(gè)球的無(wú)配對(duì)放法，
放法總數(shù)為：A(N-1)
因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]
上式可變換為： A(N)-NA(N-1)
=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]
按等比數(shù)列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N
上式除以N!得出：
A(N) A(N-1) (-1)^N
------- = ---------------- + -----------------
N! (N-1)! N!
把 A(N)/N!當(dāng)作新的數(shù)列， 把(-1)^N/N!也作為一個(gè)數(shù)列
則 A(N)等于數(shù)列 (-1)^N/N!從第二項(xiàng)到第N項(xiàng)的和再乘以N
另外可得出：
N球恰有K球與盒子配對(duì)的放法總數(shù)為： C(N，K)*A(N-K)
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