注冊(cè)結(jié)構(gòu)工程師：元流能量方程

　　四、恒定總流能量方程

　　(一)元流能量方程

　　連續(xù)性方程屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的范疇，它只給出沿流斷面的流速變化規(guī)律，完全沒(méi)有涉及流體受力的情況。下面從功能原理著手推導(dǎo)出元流能量方程，然后推廣到總流。功能原理是外力對(duì)物體所作的功等于物體機(jī)械能(位能和動(dòng)能)的變化。

　　在流場(chǎng)中選取一元流，如圖6-3-5所示。在元流上取斷面1-1和斷面2-2，兩斷面的高程和面積分別為z1、z2和dA1、dA2。兩斷面的流速和壓強(qiáng)分別為u1、u2和p1、p2。以?xún)蓴嗝骈g的元流段為研究對(duì)象，在dt時(shí)間內(nèi)由原來(lái)的1122位置移動(dòng)到1'1'2'2'位置，斷面1—1和斷面2-2分別移動(dòng)了uldt和u2dt的距離。

　　在斷面1—1所受壓力pldAl，所作正功pldAluldt，斷面2-2所受壓力p2dA2，它與流動(dòng)方向相反所作的功是負(fù)的，等于—p2dA2u2dt。元流側(cè)面所受的壓力和元流流向垂直，沒(méi)有作功。而沿元流側(cè)表面還有和流體方向相反的內(nèi)摩擦阻力作了負(fù)功—dHw，因此外力作功為

　　經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后從位置1122變化到1'1'2'2'位置，在恒定流的條件下1'1'2'2'這段中的流體的能量沒(méi)有發(fā)生變化，所以dt時(shí)間內(nèi)流體能量的變化，也就是新位置2—2'的能量和原位置1—1'的能量?jī)烧咧钪怠?/p>

　　由于流體不可壓縮、新舊的位置1—1'、2—2'所占據(jù)的體積等于dQdt，質(zhì)量等于ρdQdt。根據(jù)物理學(xué)中的公式，動(dòng)能0.5mu2，位能mgz，所以動(dòng)能增值為：

　　位能的增值為

　　按功能原理(1)=(2)+(3)，可得：

　　等式各項(xiàng)除以ρgdQdt，并設(shè)

　　整理后得：

　　這就是不可壓縮流體元流能量方程或稱(chēng)伯努利方程。它反映了恒定流中沿流各點(diǎn)位置高度z，壓強(qiáng)p和流速u(mài)之間的變化規(guī)律。

　　式(6-3-3)說(shuō)明元流從一個(gè)斷面流到另一斷面的過(guò)程中，各項(xiàng)能量(位能，壓能，動(dòng)能)在一定的條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的。但是前一個(gè)斷面的單位機(jī)械能應(yīng)等于后一個(gè)斷面的單位總機(jī)械能與兩斷面之間水頭損失之和。此方程是能量守恒在流體力學(xué)中的特殊表達(dá)形式。

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