咨詢工程師現(xiàn)代工程咨詢方法概述串講6
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第二節(jié) 因果分析法-1
因果分析法主要包括:
回歸分析法.
彈性系數(shù)分析法.
消費系數(shù)法等方法。
回歸分析法是分析相關(guān)因素相互關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計方法，通過建立一個或一組自變量與相關(guān)隨機(jī)變量的回歸分析模型，來預(yù)測相關(guān)隨機(jī)變量的未來值?；貧w分析法按分析中自變量的個數(shù)分為一元回歸與多元回歸;按自變量與因變量的關(guān)系分為線性回歸與非線性回歸。不論是一元回歸模型還是多元回歸模型，預(yù)測模型的建立要經(jīng)過嚴(yán)格的統(tǒng)計檢驗，否則模型不能成立。
彈性系數(shù)法是―種相對簡單易行的定量預(yù)測方法，通過計算某兩個變量相對變化彈性關(guān)系，彈性是―個相對量，它衡量某―變量的改變所引起的另―變量的相對變化。
消費系數(shù)法是按行業(yè)、部門、地區(qū)、人口、群體等對某產(chǎn)品的消費者進(jìn)行分析，認(rèn)識和掌握消費者與產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系，從而預(yù)測產(chǎn)品需求量。
一、一元線性回歸
(一)基本公式
如果預(yù)測對象與主要影響因素之間存在線性關(guān)系，將預(yù)測對象作為因變量y，將主要影響因素作為自變量x，即引起因變量y變化的變量，則它們之間的關(guān)系可以用一元回歸模型表示為如下形式：
y=a+bx+e
其中：a和b是揭示x和y之間關(guān)系的系數(shù)，a為回歸常數(shù)，b為回歸系數(shù)
e是誤差項或稱回歸余項。
對于每組可以觀察到的變量x，y的數(shù)值xi，yi，滿足下面的關(guān)系：
yi =a+bxi+ei
其中ei是誤差項，是用a+bxi去估計因變量yi的值而產(chǎn)生的誤差。
在實際預(yù)測中，ei是無法預(yù)測的，回歸預(yù)測是借助a+bxi得到預(yù)測對象的估計值yi。為了確定a和b，從而揭示變量y與x之間的關(guān)系，公式可以表示為：
y=a+bX
公式y(tǒng)=a+bX是式y(tǒng)=a+bx+e的擬合曲線?？梢岳闷胀ㄗ钚《朔ㄔ?OLS)求出回歸系數(shù)。最小二乘法基本原則是對于確定的方程，使觀察值對估算值偏差的平方和最小。由此求得的回歸系數(shù)為：
b=[∑xiYi―x∑yi]/∑xi2―x∑xi
a=y’-bx’
式中：xi、yi分別是自變量x和因變量y的觀察值，x-、y-分別為x和y的平均值.
x-=∑xi/ n
y-= ∑yi/ n
對于每一個自變量的數(shù)值，都有擬合值：
yi’=a+bxi
yi’與實際觀察值的差，便是殘差項
ei=yi一yi’
(二)回歸檢驗
在利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測時，需要對回歸系數(shù)、回歸方程進(jìn)行檢驗，以判定預(yù)測模型的合理性和適用性。檢驗方法有方差分析、相關(guān)檢驗、t檢驗、F檢驗。 對于一元回歸，相關(guān)檢驗與t檢驗、F檢驗的效果是等同的，因此，在一般情況下，通過其中一項檢驗就可以了。對于多元回歸分析，t檢驗與F檢驗的作用卻有很大的差異。
1.方差分析
通過推導(dǎo)，可以得出：
∑(yi―y-)2= ∑(yi―yi’)2+∑(yi―y-)2
其中：
∑(yi’―y-)2=TSS，稱為偏差平方和，
反映了n個y值的分散程度，又稱總變差。
∑(yi―yi’)2=RSS,稱為回歸平方和，
反映了x對y線性影響的大小，又稱可解釋變差。
∑(yi―yi’)2=ESS，稱為殘差平方和，
根據(jù)回歸模型的假設(shè)條件，ESS是由殘差項e造成的，它反映了除x對y的線性影響之外的一切使y變化的因素，其中包括x對y的非線性影響及觀察誤差。因為它無法用x來解釋，故又稱未解釋變差。
所以，TSS=RSS+ESS
其實際意義是總變差等于可解釋變差與未解釋變差之和。
在進(jìn)行檢驗時，通常先進(jìn)行方差分析，一方面可以檢驗在計算上有無錯誤;另一方面，也可以提供其他檢驗所需要的基本數(shù)據(jù)。
定義可決系數(shù)R2，
R2 =RSS/TSS
R2 的大小表明了y的變化中可以用x來解釋的百分比，因此，R2 是評價兩個變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個指標(biāo)?？梢詫?dǎo)出，
R2 = RSS/TSS=∑(yi―yi’)2 /∑(yi―y-)2
=1- ESS/ TSS=1-∑(yi―y-)2 /∑(yi―y-)2
2.相關(guān)系數(shù)檢驗
相關(guān)系數(shù)是描述兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的密切程度的數(shù)量指標(biāo)，用R表示。
R在―1和1之間，
當(dāng)R=1時，變量x和少完全正相關(guān);
當(dāng)R=-1時，為完全負(fù)相關(guān);
當(dāng)0 當(dāng)-1 當(dāng)R=0時，變量x和y沒有線性關(guān)系。 所以，R的絕對值越接近1，表明其線性關(guān)系越好; 反之，R的絕對值越接近0，表明其線性關(guān)系越不好。 只有當(dāng)R的絕對值大到一定程度時，才能采用線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測。在計算出R值后，可以查相關(guān)系數(shù)檢驗表(見書附表1)。 在自由度n―2(n為樣本個數(shù))和顯著性水平a(一般取a=0.05)下， 若R大于臨界值，則變量x和y之間的線性關(guān)系成立; 否則，兩個變量不存在線性關(guān)系。 3.t檢驗 即回歸系數(shù)的顯著性檢驗，以判定預(yù)測模型變量x和y之間線性假設(shè)是否合理。因為要使用參數(shù)t值，故稱為t檢驗?；貧w常數(shù)a是否為0的意義不大，通常只檢驗參數(shù)b。
其中：Sb是參數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本個數(shù)。 S為回歸標(biāo)準(zhǔn)差， tb服從t分布，可以通過t分布表(見本書附表2)查得顯著性水平為a，自由度為n―2的數(shù)值t(a/2，n―2)。與之比較，若tb的絕對值大于t，表明回歸系數(shù)顯著性不為0，參數(shù)的t檢驗通過，說明變量x和y之間線性假設(shè)合理。若tb的絕對值小于或等于t，表明回歸系數(shù)為0的可能性較大，參數(shù)的‘檢驗未通過，回歸系數(shù)不顯著，說明變量x和y之間線性假設(shè)不合理。 4，F(xiàn)檢驗 即回歸方程的顯著性檢驗。是利用方差分析，檢驗預(yù)測模型的總體線性關(guān)系的顯著性。
統(tǒng)計量F服從F分布，可以通過F分布表(見書附表3)，查找顯著性水平為a，自由度為n=1，n=n―2的F值Fa(1，n―2)。 將F與Fa(1，n―2)比較: 若F大于Fa(1，n―2)，則回歸方程較好地反映了變量x和y之間的線性關(guān)系，回歸效果顯著，方程的F檢驗通過，意味著預(yù)測模型從整體上是適用的; 若F小于或等于Fa(1，n―2)，說明回歸方程不能很好地反映變量x和y之間的關(guān)系，回歸效果不顯著，方程的F檢驗未通過，預(yù)測模型不能采用。
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