2009年統(tǒng)計師《統(tǒng)計基礎(chǔ)知識》參數(shù)評估(1)

更新時間：2009-10-19 15:27:29 來源：|0

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　　(一) 參數(shù)的點估計

　　點估計又稱定值估計，是一種對未知的總體參數(shù)進行估計的統(tǒng)計方法，其估計結(jié)果是一個具體數(shù)值。

　　點估計問題的嚴格數(shù)學表達式如下：設(shè)總體X的分布函數(shù)F 形式為已知，是待估參數(shù)，是X的一個樣本，是相應(yīng)的一個樣本觀察值，通過構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量 ( )，用它的觀察值 ( )來估計未知參數(shù) 。我們稱 ( )為的估計量，稱 ( )為的估計值，在不致混淆的情況下統(tǒng)稱為估計，并都簡記為。需要注意的是，由于估計量是樣本的函數(shù)，因此對于不同的樣本，估計值往往是不同的。

　　點估計的優(yōu)點在于它能夠提供總體參數(shù)的具體估計值，其表達更直觀、簡練，并可以作為行動決策的數(shù)量依據(jù)。但其不足之處也是很明顯：點估計所提供的信息量比較少，尤其不能提供估計的誤差和把握程度方面的信息，比如說，誤差會有多大，有多大把握可以保證結(jié)果正確等，這些信息在決策中往往是非常重要的。

　　點估計的方法主要有矩估計法、最大似然法及貝葉斯法等。

　　1. 矩估計法

　　矩估計法首先在1849年由英國統(tǒng)計學家皮爾遜提出，它有簡單易行的優(yōu)點。用樣本的矩作為相應(yīng)(同類、同階)總體矩的估計方法稱為矩估計法。

　　在統(tǒng)計學中，矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征。矩分原點矩和中心矩兩種。

　　設(shè)X為隨機變量，對于任意正整數(shù)k，稱E(Xk)為隨機變量X的k階原點矩，稱E[X-E(X)]k為以E(X)為中心的k階中心矩。當k=1時，E[X-E(X)]= ，當k=2時，E[X-E(X)]2= ，于是說總體X的一階原點矩(總體均值)為 =EX，二階中心矩為 =DX，(即：總體的一階原點矩就是數(shù)學期望，二階中心矩則是方差)

　　1. 最大似然估計法

　　最大似然估計法是費歇在1912年提出的。從理論上看，它是參數(shù)點估計中最重要的方法，具有優(yōu)良的數(shù)學性質(zhì)，應(yīng)用十分廣泛。最大似然估計法是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的求估計量的方法。

　　(1) 最大似然原理

　　最大似然原理的直觀想法是：將在試驗中概率最大的事件推斷為最可能出現(xiàn)的事件。

　　一般地，如果總體分布中未知參數(shù) 可供選擇的估計有，對于任意x，恒有：成立。其中是中的某一個，是異于中任一估計，由于使概率 )為最大，故應(yīng)選作為的估計。滿足上式的稱為待估參數(shù) 的最大似然估計。這就是最大似然原理的基本思想。

　　(2) 最大似然估計法簡介(略)

　　2. 估計量的評選標準

　　在參數(shù)估計中，我們用樣本估計量作為總體參數(shù) 的估計。實際上，用于估計的估計量在很多情況下不只一個，例如：我們可以用樣本均值作為總體均值的估計量，也可以用樣本中位數(shù)作為總體均值的估計量等等。

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