注冊結(jié)構(gòu)工程師試題輔導(dǎo)：卡氏第二定理模擬題(1)

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卡氏第二定理

1.卡氏第二定理

線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對任一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)等于對應(yīng)于該廣義力的廣義位移。

2.討論

(1)適用于線彈性結(jié)構(gòu)(材料線彈性，結(jié)構(gòu)幾何線性)在小變形情況下的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算。

(2)δi是表示力Pi作用點(diǎn)沿Pi方向、與Pi相應(yīng)的廣義位移。用卡氏定理計(jì)算某截面的位移時(shí)，若該處沒有相應(yīng)的廣義力作用，可在該處加一虛擬的與所求位移相應(yīng)的廣義力，在求得偏導(dǎo)數(shù)后再令其為零。

(3)由于變形能是對截面位置x的積分，而卡氏定理是對相應(yīng)廣義力求導(dǎo)，故先積分后求導(dǎo)、或先求導(dǎo)后積分沒有影響。因此具體計(jì)算中，可不必求出結(jié)構(gòu)的變形能，而可直接用下列各式計(jì)算

拉壓桿系的位移

梁的位移

剛架位移

[例 5—8—1] 用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時(shí)，試問應(yīng)分為幾段?將出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)? 并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。

[解] (a)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個(gè)積分常數(shù)。

邊界條件為

連續(xù)條件為

(b)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個(gè)積分常數(shù)。

邊界條件為

式中 K為彈簧的剛度。

連續(xù)條件為

(c)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個(gè)積分常數(shù)。

邊界條件為

連續(xù)條件為

分析與討論

(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應(yīng)作為分段點(diǎn)。

(2)中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)。

(3)各分段點(diǎn)處都應(yīng)列出連續(xù)條件。根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角值。在中間鉸處，雖然兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。

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