2018年一級(jí)結(jié)構(gòu)工程師《理論力學(xué)》重點(diǎn)：分析力學(xué)

分析力學(xué)

明白分析力學(xué)與牛頓力學(xué)，研究對(duì)象都是宏觀物體，任務(wù)都是解決宏觀物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但所采用的方法很不相同，在牛頓力學(xué)中，最重要的量是力和加速度，矢量性很強(qiáng)，除了動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律外，幾乎都是矢量式，因此務(wù)必要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，若是動(dòng)力學(xué)則要進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析，把矢量式變?yōu)榉至渴?若是運(yùn)動(dòng)學(xué)，則矢量用分量來(lái)表達(dá)(如前面的轉(zhuǎn)動(dòng)參照系運(yùn)動(dòng)學(xué))，才能求解。而分析力學(xué)中最重要的是能量，即動(dòng)能和勢(shì)能，其次確定系統(tǒng)的自由度，進(jìn)而確定廣義坐標(biāo)，用廣義坐標(biāo)來(lái)表示能量等函數(shù)，是十分重要的一步，因而標(biāo)量性很明顯，當(dāng)然有時(shí)也免不了要受力分析，畢竟是力學(xué)。

一、約束與廣義坐標(biāo)

分析力學(xué)的研究對(duì)象：主要是相互作用著的大量質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，我們常見(jiàn)的就是特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體，我們稱(chēng)為力學(xué)體系。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)當(dāng)然也可用分析力學(xué)處理，不過(guò)，有時(shí)反使問(wèn)題復(fù)雜化，因它的優(yōu)勢(shì)在于處理復(fù)雜體系，一方面用廣義坐標(biāo)(獨(dú)立坐標(biāo))來(lái)描述力學(xué)體系使方程數(shù)減少，一方面消除未知的約束反力(目標(biāo)是求解力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而不是約束反力).

1, 約束

限制力學(xué)體系中質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件，通常為坐標(biāo)，速度，時(shí)間的函數(shù)，該函數(shù)我們稱(chēng)為約束方程，簡(jiǎn)稱(chēng)約束

按照下面不同的劃分標(biāo)準(zhǔn)，分為：

1) 限制質(zhì)點(diǎn)空間位置的約束是否顯含時(shí)間

1) 限制質(zhì)點(diǎn)空間位置的約束是否可解

始終不能脫離約束曲面(曲線)的約束，是不可解約束，用等式表示

3)是否限制質(zhì)點(diǎn)的速度

不僅限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，而且限制質(zhì)點(diǎn)的速度，是微分約束;可積分為幾何約束的微分約束也為完整約束，所以完成約束包括幾何約束(不可解約束)和可積分為幾何約束的微分約束;而非完成約束則包括可解約束和不能積分為幾何約束的微分約束，受完整約束的力學(xué)體系是完成系，反之是非完整系，我們主要研究完整系。

我們注意到，上面分類(lèi)中有相互包含的情況，如同一個(gè)約束，即可是穩(wěn)定約束，也可是不可解約束，還可是幾何約束;可解約束只能是非完整約束。

1， 廣義坐標(biāo)

若一個(gè)有3n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系受到k個(gè)幾何約束，則描述其空間位形的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)只需3n-k個(gè)，此時(shí)力學(xué)體系的自由度和獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)相等，若有微分約束，則自由度數(shù)可小于獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，我們研究的是幾何約束

這3n-k=s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，稱(chēng)其為是廣義坐標(biāo)，每一質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)都可用這s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)表示，于是整個(gè)力體系的空間位形當(dāng)然就只需s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述

明確位矢是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的顯函數(shù)，若不是時(shí)間的顯函數(shù)是穩(wěn)定約束的情況。廣義坐標(biāo)，既然稱(chēng)廣義，它可以是長(zhǎng)度，還可是角度等，只需滿足和廣義力的乘積具有功的量綱或者說(shuō)具有功的形式

二， 虛功原理

1. 幾個(gè)基本概念

1) 實(shí)位移與虛位移的區(qū)別和聯(lián)系

實(shí)位移是實(shí)實(shí)在在由真實(shí)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生的位移，必然經(jīng)歷時(shí)間，且受運(yùn)動(dòng)規(guī)律(初始條件和受力情況，所以已包含了約束條件)的限制，只有一個(gè)，用表示;而虛位移則是在某一時(shí)刻，約束所許可的條件下，假象的可能發(fā)生的位移，可能由無(wú)數(shù)多個(gè)，且不經(jīng)歷時(shí)間，不受真實(shí)運(yùn)動(dòng)的影響，由約束條件和該時(shí)刻所在位置決定，用表示;當(dāng)在穩(wěn)定約束的情況下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)

2)虛功

所有主動(dòng)力和約束反力在任意的虛位移所做的元功之和，與虛位移相應(yīng)，物功能轉(zhuǎn)化，也不需經(jīng)歷時(shí)間

3)理想約束 若某一力學(xué)體系的所有約束反力在任意虛位移所做元功之和為零

2，虛功原理

研究對(duì)象是受理性的穩(wěn)定的約束且處于靜止?fàn)顟B(tài)的力學(xué)體系，研究任務(wù)，是解決該類(lèi)體系的靜力學(xué)平衡問(wèn)題

三 (重點(diǎn)考查)拉格朗日方程

是在達(dá)郎貝爾原理(把動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)為靜力學(xué)問(wèn)題的原理)和虛功原理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的

1基本形式的拉格朗日方程

2 保守力系下(主動(dòng)力是保守力)的拉格朗日方程

3 拉格朗日方程的應(yīng)用

應(yīng)用拉格朗日方程解題的一般步驟：

(1)明確是否是受理想完整約束的力學(xué)體系

(2)判斷力學(xué)體系的自由度(確定廣義坐標(biāo)數(shù))

(3)選廣義坐標(biāo)(根據(jù)題意，需要靈活選取)，數(shù)目與自由度相等

(4)計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能，且用廣義速度，廣義坐標(biāo)來(lái)表示

(5)對(duì)非保守系計(jì)算廣義力，對(duì)保守系計(jì)算勢(shì)能(用廣義坐標(biāo)表示)

(6)代入拉格朗日方程求得質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)

4 循環(huán)積分和能量積分

都是針對(duì)保守力系，

四 哈密頓正則方程

五、泊松括號(hào)與哈密頓原理

1，泊松括號(hào)

3 哈密頓原理

僅研究保守力系作用下的哈密頓原理

與拉格朗日方程一樣，是在由s個(gè)廣義坐標(biāo)所描述的s維位形空間中研究力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，s維位形空間與時(shí)間t構(gòu)成了s+1維空間，它是采用變分的思想從多種可能軌道中挑出真是軌道。