09公務(wù)員輔導(dǎo)：排列組合問題之錯位排列問題

更新時間：2009-10-19 15:27:29 來源：|0

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錯位排列問題是一個古老的問題，最先由貝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n個有序元素，全部改變其位置的排列數(shù)是多少？所以稱之為“錯位”問題。大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）等都有所研究。下面先給出一道錯位排列題目，讓考友有直觀感覺。
　　例1．五個編號為1、2、3、4、5的小球放進5個編號為1、2、3、4、5的小盒里面，全錯位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是說5個全部放錯）一共有多少種放法？
　　【解析】：直接求5個小球的全錯位排列不容易，我們先從簡單的開始。
　　小球數(shù)/小盒數(shù) 全錯位排列
　　1 0
　　2 1（即2、1）
　　3 2（即3、1、2和2、3、1）
　　4 9
　　5 44
　　6 265
　　當小球數(shù)/小盒數(shù)為1~3時，比較簡單，而當為4~6時，略顯復(fù)雜，考友只需要記下這幾個數(shù)字即可（其實0，1，2，9，44，265是一個有規(guī)律的數(shù)字推理題，請各位想想是什么？）由上述分析可得，5個小球的全錯位排列為44種。
　　上述是最原始的全錯位排列，但在實際公務(wù)員考題中，會有一些“變異”。
　　例2．五個瓶子都貼了標簽，其中恰好貼錯了三個，則錯的可能情況共有多少種？
　　【解析】：做此類題目時通常分為兩步：第一步，從五個瓶子中選出三個，共有種選法；第二步，將三個瓶子全部貼錯，根據(jù)上表有2種貼法。則恰好貼錯三個瓶子的情況有種。
　　【拓展】：想這樣一個問題：五個瓶子中，恰好貼錯三個是不是就是恰好貼對兩個呢？答案是肯定的，是。那么能不能這樣考慮呢？第一步，從五個瓶子中選出二個瓶子，共有種選法；第二步，將兩個瓶子全部貼對，只有1種方法，那么恰好貼對兩個瓶子的方法有種。問題出來了，為什么從貼錯的角度考慮是20種貼法，而從貼對的角度考慮是10種貼法呢。在此明確告知，后者的解題過程是錯誤的，請考友想想為什么？
　　【王永恒提示】：在處理錯位排列問題時，無論問恰好貼錯還是問恰好貼對，都要從貼錯的角度去考慮，這樣處理問題簡單且不易出錯。